Напряжения и деформации

Сначала просто о сложном расскажет нам профессор Джеймс Гордон (далее приведен фрагмент его книги «Конструкции, или почему не ломаются вещи»).

«Глава 2.

ИЗОБРЕТЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ  И ДЕФОРМАЦИИ,
или
барон Коши и расшифровка модуля Юнга

Чем, как не ареной ужасов, была бы жизнь без арифметики?

Сидней Смит, письмо к юной леди от 22 июля 1835 г.

Кроме Ньютона и предрассудков XVIII в. главной причиной столь долгого застоя в теории упругости было то, что те немногие ученые, которые все же занимались этой проблемой, пытались анализировать силы и перемещения, рассматривая конструкцию целиком, как это делал Гук, — вместо того чтобы перейти, к силам и деформациям, которые существуют в каждой точке внутри материала. Предпринимавшиеся в XVIII и XIX вв. такими выдающимися умами, как Леонард Эйлер (1707-1783) и Томас Юнг (1773-1829), попытки решать вполне стандартные с сегодняшней точки зрения задачи кажутся современному инженеру невероятнейшими интеллектуальными ухищрениями.

Концепция упругости материала в точке сводится к понятию о напряжении и деформации, которое впервые в обобщенной форме было сформулировано Огюстом Коши (1789-1857) в его статье, направленной во Французскую академию наук в 1822 г. После работ Гука эта статья была, быть может, самым важным событием в истории развития теории упругости. После нее появилась надежда, что эта наука наконец станет орудием в руках инженеров, а не эмпиреями нескольких эксцентричных мыслителей. На портрете, написанном примерно в то же время, Коши выглядит довольно бойким молодым человеком; несомненно, в прикладной математике он был большой силой.

Когда в XIX в. английские инженеры наконец снизошли до того, чтобы познакомиться с работами Коши, то обнаружили, что, усвоив основные понятия о напряжениях и деформациях, можно сразу упростить все исследования по расчету конструкций. Сегодня эти понятия в широком ходу, и трудно объяснить то замешательство и смущение, которые иногда испытывают при упоминании о них неспециалисты. У меня как-то была аспирантка, незадолго до этого удачно защитившая диплом по биологии. Изучение понятий о напряжениях и деформациях вывело ее из душевного равновесия настолько, что она сбежала из университета и бесследно исчезла. Почему — я так и не пойму до сих пор.

Напряжение

Оказывается, к представлению о напряжении был очень близок еще Галилей. В «Двух новых науках» — книге, написанной им в старости в Арцетри, — он ясно указывает, что растягиваемый стержень имеет прочность, которая при постоянстве остальных условий пропорциональна площади его поперечного сечения. Иными словами, если стержень сечением 2 см2 разрывается при нагрузке 1000 кг, то стержень сечением 4 см2 разрывается при нагрузке 2000 кг. Кажется почти невероятным, что потребовалось почти два столетия, чтобы разделить разрушающую нагрузку на площадь поверхности в месте разрыва, дабы получить величину, называемую сегодня разрушающим напряжением (в упомянутом выше случае 500 кг/см2) и относящуюся ко всем стержням из того же материала.

Коши осознал, что такое представление о напряжении можно использовать не только для того, чтобы предсказать разрушение материала, но и для более общего описания состояния тела в любой его точке. Другими словами, напряжение в твердом теле напоминает давление в жидкости или газе. Оно является мерой воздействия внешних сил на атомы и молекулы, из которых состоит материал и которые вынуждены под действием этих сил сближаться или удаляться друг от друга.

Таким образом, сказать, что напряжение в данной точке какого-то куска стали составляет 500 кг/см2, ничуть не более вразумительно и не менее таинственно, чем сказать, что давление в шинах моего автомобиля 2 кг/см2. Однако, хотя понятия о давлении и напряжении вполне сопоставимы, нужно иметь в виду, что давление действует в любом направлении внутри жидкости, тогда как напряжение является величиной, характеризующейся определенными направлениями действия. Напряжение может, в частности, действовать в одном-единственном направлении; во всяком случае, пока мы будем считать, что это именно так.

В количественном выражении напряжение в заданной точке определяется отношением силы, или нагрузки, приходящейся на небольшую площадку в окрестности этой точки, к величине этой площадки*.

* Здесь явная аналогия со скоростью движения, которая в каждый данный момент времени равна отношению пути, пройденного за малый отрезок времени, к величине этого отрезка времени.

Если напряжение в некоторой точке мы обозначим буквой s, то

напряжение = s = (нагрузка/площадь) = (Р/А),

где Р — нагрузка, а А — площадь, на которую, как можно считать, эта нагрузка действует (рис. 6).

ris_6Рис. 6. Напряжение, возникающее в бруске при растяжении. (Ситуация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Вернемся теперь к нашему кирпичу, который в предыдущей главе мы оставили висящим на веревке. Если кирпич весит 5 кг, а веревка имеет сечение 2 мм2, то кирпич натягивает веревку с силой 5 кг, а напряжение в веревке

s = (нагрузка/площадь) = (Р/A) =  5 кг/2 мм2 = 2,5 кг/мм2,

или, если угодно, 250 кг/см2.

Единицы напряжения

В связи со сказанным возникает порой вызывающий досаду вопрос о единицах напряжения. Напряжение можно выразить, и часто его именно так и выражают, в различных величинах, соответствующих какой-либо единице силы, деленной на какую-либо единицу площади. Чтобы не было путаницы, в этой книге мы ограничимся использованием следующих единиц.

Меганьютон на квадратный метр — МН/м2. Это единица СИ — Международной системы единиц, которая в качестве единицы силы использует Ньютон — Н.

1Н = 0,102 кгс (приблизительно весу одного яблока).

1 МН (меганьютон)=1 млн. Н, что составляет почти 100 т.

Килограмм силы на квадратный сантиметр — кгс/см2

Перевод одних единиц в другие:

1 MH/м2 = 10,2 кгс/см2, 1 кгс/см2=0,098 МН/м2.

Таким образом, полученное в нашей веревке напряжение составляет 250 кгс/см2 или 24,5 МН/м2. Обычно для приближенного вычисления напряжений нет необходимости и в абсолютно точных коэффициентах перевода одних единиц в другие.

Стоит повторить: важно осознать, что напряжение в материале, подобно давлению в жидкости, есть величина, привязанная к некоторой точке; оно не относится к какой-либо определенной площади поперечного сечения, такой, как квадратный сантиметр или квадратный метр.

Деформация

В то время как напряжение говорит нам о том, сколь интенсивно принуждаются к расхождению в данной точке твердого тела атомы, деформация говорит о том, сколь далеко этот процесс растяжения зашел, то есть каково относительное растяжение межатомных связей,

Так, если стержень, имевший первоначально длину L, под действием силы удлинился на величину l, то деформация, или относительное изменение длины стержня, которую обозначим буквой е, будет e = l/L (рис. 7)

ris_7Рис. 7. Деформация, возникающая в бруске при растяжении. (Деформация при сжатии выглядит аналогичным образом.)

Возвращаясь к нашей веревке, можно сказать, что если ее первоначальная длина была, допустим, 2 м (200 см), а под действием веса кирпича она удлинилась на 1 см, то деформация веревки е = l/L= 0,005, или 0,5%.

Деформации, возникающие в инженерной практике, обычно весьма малы, поэтому инженеры, как правило, выражают их в процентах, что уменьшает вероятность ошибки, если оперировать десятичными дробями с множеством нулей.

Подобно напряжению, деформация не связана с какой-либо определенной длиной, сечением или формой материала. Она также характеризует состояние материала в точке. Поскольку для определения деформации мы делим удлинение на первоначальную длину, она выражается безразмерной величиной — числом, не требующим какой-либо единицы измерения. В равной мере все сказанное относится не только к растяжению, но и к сжатию».


КРАТКАЯ БИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) — великий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики; один из основоположников механики сплошных сред.

Родился 21 августа 1789 года в Париже, спустя буквально 5 недель после взятия Бастилии и начала Французской революции. Его отец-юрист, состоявший на правительственной службе, вынужден был покинуть Париж и искать убежища в Аркюэйле, деревушке в окрестностях Парижа, где в то время жили знаменитые ученые Лаплас и Бертолле. Во времена Наполеона дом Лапласа стал местом встреч для самых выдающихся деятелей науки Парижа, так что Коши уже в юности представилась возможность познакомиться со многими из них. В числе этих людей был Лагранж, быстро заметивший необычные математические дарования мальчика.

В 1805 Коши поступает в Политехническую школу, а после ее окончания в 1807 году — в Школу мостов и дорог. После окончания школы он работает инженером путей сообщения в Шербуре, в возрасте 21 года он уже выполняет серьезные инженерные работы в Шербурском порту. Но математика привлекает Коши больше чем техника, и свой досуг он посвящает математическим исследованиям. За 1811-1812 года он представляет несколько важных докладов в Парижскую Академию наук, а в 1813 году возвращается в Париж, где продолжает свои математические изыскания. В 1815 году после «ста дней» и второго отречения Наполеона к власти во Франции снова приходит династия Бурбонов, начинаются, как сейчас принято говорить, чистки. В 1816 новая власть увольняет из Политехнической школы и исключает из Академии наук Гаспара Монжа и Лазара Карно. Вместо них в состав Академии королевским указом вводят Огюстена Луи Коши и Абрахама-Луи Бреге. Увольнение Монжа (основателя Политехнической школы и талантливого педагога) приводит учеников школы в ярость – и они организуют акции протеста. После одной из них король увольняет всю Школу. Уроки возобновляются в 1817 году в присутствии примерно половины учеников, Монжу позволяют вернуться к преподаванию в Школе. Коши начинает вести в Политехнической школе и в Сорбонне курс по дифференциальному и интегральному исчислению. В своих лекциях он пытается излагать предмет в более строгой с математической точки зрения форме, чем это делалось когда-либо раньше. Оригинальность такого изложения привлекает на его лекции не только студентов, но и профессоров и ученых из других стран.

lessons

В 1818 году Коши женится на Алоизе де Бюр, у них рождаются две дочери.

В 1821 году Анри Навье представляет в Академию наук работу, в которой он формулирует основные уравнения теории упругости. Коши заинтересовывается этой работой и сам приступает к исследованиям в этой области. В период с 1822 по 1828 года он выпускает ряд работ, заложивших основы математической теории упругости.

После Июньской революции 1830 года («опять власть меняется!») Коши вслед за Карлом Х отправляется в эмиграцию (его место профессора механики и математики в Политехнической школе занимает Анри Навье), где занимается воспитанием внука Карла Х, за что тот производит его в бароны.

В 1836 году Карл Х умирает, и присяга ему теряет силу. В 1838 году Коши возвращается в Париж, но не желает из-за своей неприязни к новому режиму занимать никаких государственных должностей. Он ограничивается преподаванием в иезуитском колледже. Только после новой революции 1848 года («опять власть меняется!») он получает место в Сорбонне, хотя и не приносит присяги. После государственного переворота 1852 года (да, опять…) императором становится Наполеон III. Коши по-прежнему не желает приносить присягу очередной новой власти, но благодаря заступничеству журналиста и политика Ипполита Фортуля Наполеон III сохраняет ему должность…

P.S. В начале ХХ столетия под первым балконом Эйфелевой башни были выгравированы имена 72 наиболее выдающихся французских ученых и инженеров XVIII-XIX веков.

tower

В их числе — Огюстен Луи Коши, вместе с Пьером-Симоном Лапласом, Жозефом-Луи Лагранжем, Гаспаром Монжем, Лазаром Карно, Абрахамом-Луи Бреге и Анри Навье…

names

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

Пожалуйста, выполните сложное математическое вычисление: *

© 2018 Живые мосты ·  Дизайн и техподдержка: Goodwinpress.ru